Можно ли уволить работника без предупреждения?

Добрый день!

Торговая организация. Торговые магазины находятся как г. Витебске, так и в других небольших городах. Юр. адрес и офис в г. Витебске. Хотим уволить сотрудника (часто болеет). Он работает по трудовому контракту и в данный момент еще на испытательном сроке. Хотим уволить без предупреждения «день\в день». Работает не в г. Витебске. И в этом сложность с подписанием приказа с его стороны и выдачей трудовой книжки. Хотим попросить приехать в Витебск для оформления документов на увольнение. Но боимся, что работник будет настаивать на приезде нашего кадровика.

Спасибо.

1. Какую статья ТК указать?
2. Можем ли уволить без предупреждения?
3. Кто все-таки должен ехать для оформления документов наш кадровик или сотрудник?
4. Приказ обязательно должен быть подписан работником? а если будет написано заявление на увольнение?