Как вылечить у ребёнка ночной кашель?

Добрый день! Моему ребёнку 2.2 года, в 2 года пошли в детский сад и начали адаптироваться — болеть. Сначала педиатр поставила нам диагноз «бронхит», но как оказалось после похода к ЛОРу, у нас воспаление аденоидов. При этом с насморком мы справились очень быстро, а вот кашель ночной не проходит уже которую неделю, при этом нос дышит и днём и ночью, и ничего не беспокоит. В итоге кашель лечим уже больше месяца.

Лечились: «Протаргол» + «Нафазолин», «Флюдитек», ингаляции, сейчас пьём «Гербин» и «Синупрет». Педиатр настаивает на антибиотике. Нужен ли антибиотик? Какой схемы придерживаться?