Здравствуйте, Ольга!
Продлить старый контракт или заключить новый возможно только по соглашению с нанимателем. Обязанность продолжить с Вами трудовые отношения у нанимателя после истечения срока контракта отсутствует.
Что касается алиментов на несовершеннолетнего ребёнка, Вам необходимо обратиться в органы ЗАГС и подать совместное заявление с отцом ребёнка для установления его отцовства. При несогласии отца на добровольный порядок установления отцовства, Вам необходимо обратиться в суд с требованием об установлении отцовства и взыскании алиментов. Уплачивать алименты обязан родитель независимо от наличия у него работы.