Здравствуйте, Елена!
Да, может (если это не противоречит условиям договора аренды о целевом использовании помещения). Да, заключается договор хранения. Договор хранения предполагается возмездным.
Заключение договора хранения на безвозмездной основе не запрещено, то тогда он подпадёт под действие Указа № 300 от 1 июля 2005 г. «
О предоставлении и использовании безвозмездной (спонсорской) помощи» со всеми вытекающими из этого последствиями.
Как вариант — можете прийти на консультацию, и мы проработаем иные варианты оформления договорных отношений.